Определение цен барьерных опционов с помощью сеток. Часть первая – постоянные барьеры
ОГЛАВЛЕНИЕ
Это первая часть в серии из четырех статей об определении цен на экзотические опционы с помощью методов на базе сетки. В этой части будет рассмотрен очень простой пример опциона с постоянным барьером.
• Скачать демонстрационный проект - 5.26 Кб
• Скачать исходники - 12.2 Кб
Введение
Стоит отметить, что представленный метод можно расширить до вмещения опционов с несколькими постоянными барьерами. После изучения простого примера перейдем к более сложным опционам с изменяющимися во времени барьерами. Статья об изменяющихся во времени барьерах будет охватывать широкий спектр возможных барьеров, в том числе (но не только) одиночные и множественные линейные, меняющиеся во времени, барьеры и экспоненциальные барьеры. В третьей части серии будет рассмотрено определение цен бермудских опционов на триномиальной сетке и представлен ряд наглядных решений задач, которые ставят бермудские опционы. Наконец, в четвертой части серии, будет рассмотрен совершенно другой метод: модель адаптивной сетки (AMM). Этот метод является альтернативой изучаемому в частях 1-3. Данная серия дает представление о неизбежных трудностях расчета цен опционов и делает всеобщим достоянием некоторый код определения цен опционов. Для начала, данная статья будет посвящена одиночному барьеру, но в случае интереса в нее будут включены различные постоянные барьеры (т.е. активация, деактивация).
Справка
Аналитические формулы ценообразования опционов типа Блэк-Шольца пользуются большим вниманием в литературе по ценообразованию на рынке ценных бумаг. Однако на практике методы ценообразования на базе сетки остаются излюбленным методом определения цен экзотических опционов типа барьерных и бермудских опционов. Но если бы история остановилась там, не пришлось бы писать эту серию статей. Известно, что для таких сложных типов опционов стандартные методы сетки с трудом вырабатывают приближенные значения цен; особенно когда начальная базовая цена близка к барьеру. В ряде случаев эти численные методы терпят полную неудачу, и не удается вычислить цену опциона. Для борьбы с этой проблемой был разработан ряд специальных методов сетки для определения цен барьерных опционов. Однако множественные, нелинейные и дискретные барьеры уничтожают некоторые из этих методов. Крайне необходим универсальный многоцелевой алгоритм.
Представленный в данной статье алгоритм разработан именно с этим расчетом. Он основан на очень общем (но простом) методе, не только позволяющем изучить ценообразование, когда базовая цена как угодно близка к барьеру, но и вырабатывающем точные приближенные значения цен для всех типов барьерных опционов, включая бермудские. Приложенный к статье код служит строго для колл-опционов с нижней границей. Код для более сложных опционов будет рассмотрен в дальнейших статьях серии. Для простоты рассматривается биномиальная сетка; однако расширить метод до триномиального дерева достаточно просто. Предоставленный код реализован для триномиальной сетки. Наконец, по требованию может быть добавлен дополнительный код для опционов активации и деактивации с постоянными барьерами.
Задача
Барьерный опцион является зависящим от пути опционом. Его выигрыш определяется тем, достигает ли цена базового актива некоторого заранее установленного уровня цены, согласованного в момент контрактной покупки. В случае барьерного опциона с нижней границей выигрыш опциона установлен в ноль, когда базовая цена падает ниже барьера. Цену этого типа опциона можно определить с помощью того же метода триномиального дерева, применяемого для определения цен ванильных опционов; но без некоторого изменения триномиальное дерево будет сходиться с крайне низкой скоростью к "истинной" цене опциона. Одно возможное решение – передвинуть узлы сетки для увеличения сходимости, но это становится трудным (если не невозможным) для кривых барьеров. Более простой и понятный метод предусматривает корректировку вероятностей сетки с надлежащей поправкой. Базовый принцип использовался ранее для повышения скоростей сходимости алгоритмов ценообразования опционов Монте-Карло.
Рисунок 1. Конфигурация сетки для барьерного опциона с постоянным барьером L
Рисунок 1 показывает конструкцию трехпериодной биномиальной сетки с постоянным барьером, L. Из-за дискретизированного пути, по которому меняется цена актива, базовая цена актива может нарушить барьер опциона без обнаружения этого моделированием методом Монте-Карло. Один способ смягчить эту проблему – использовать верхнюю границу броуновского моста для расчета вероятности того, что базовая цена актива дойдет до барьера для любого данного шага моделирования. Однако этот метод не лишен недостатков. Его нельзя эффективно использовать для определения цен опционов с множественным барьером и с меняющимся во времени барьером без серии приближений для вероятности выхода броуновского моста. Применение этих поправок вероятности к вероятностям сетки триномиального дерева позволяет определять цены опционов с одиночными и множественными постоянными барьерами на триномиальной сетке. Недавние разработки в литературе о ценообразовании дают источник для этих приближений вероятности выхода. Теперь эти приближения применяются к практической задаче ценообразования.
Поправка
В качестве вводного примера рассмотрено трехпериодное биномиальное дерево базового актива для колл-опциона с нижней границей, показанное на рисунке 1. На рисунке L является (нижним) барьером опциона, а индексированные значения S являются ценами узла для разных периодов времени, индексированных разделением по времени:
T – зрелость опциона, а n – число делений дерева. Чтобы определить цену опциона, строятся биномиальные деревья для базового актива и опциона обычным образом, с одним отличием: изменяется вероятность перехода биномиального дерева, если обнаруживается потенциальное пересечение барьера между узлами в текущий период времени и следующий период времени. На рисунке 1 такая ситуация могла бы возникнуть при переходе от S(T0) к S(T0+d). Надо скорректировать связанную вероятность перехода. Для осуществления корректировки вероятность перехода умножается на соответствующую вероятность выхода; в данном случае, при условии [1] для колла с нижней границей:
Следовательно, при такой корректировке вероятности скорректированная по вероятности цена опциона записывается так:
где CDAO – цена колл-опциона с нижней границей, а C(ST0+dt) – цена колл-опциона в узле S(T0+dt). Корректировка вероятности эквивалентна превращению биномиального дерева в триномиальное дерево вблизи барьера. Третья ветвь отражает вероятность, что барьер достигнут в промежуточный момент. Тогда опцион отменяется. Следовательно, третья ветвь не вносит вклад в стоимость опциона и может быть пропущена. Такой проход в цикле по сетке позволяет выработать приближение для "истинной" цены опциона.