Символьное дифференцирование

Данная статья описывает разбор математического выражения и определение его элементов. В качестве примера было выбрано простое приложение символьного дифференцирования, чтобы повысить ценность статьи и дать максимальную пользу читателям.

•    Скачать исходники - 36.24 Кб (v0.90071)
•    Скачать демонстрационный проект - 170.4 Кб (v0.90071)

Введение

Приложение, как на рисунке выше, содержит простую сетку для рисования входной кривой и взятия ее производной на одном и том же виде. Детальное описание математики выходит за рамки статьи. В следующем разделе дано только определение производной. Если вам не интересна математика, пропустите его.

Определение дифференцирования

Производную функции можно трактовать как функцию, значение которой в x равняется градиенту касательной к графику y=f(x) в x, или же как функцию, описывающую мгновенную скорость изменения y относительно x в точке x. Производную f относительно x также можно обозначить через

d(f(x))/dx,
or if y = f(x), dy/dx

Формулы дифференцирования

№	Выражение	Производная	Замечания
	u+v	du/dx+dv/dx
	u-v	du/dx-dv/dx
	u/v	(v*du/dx-u*dv/dx)/v^2
	u*v	u*dv/dx+v*du/dx
	c*u	c*du/dx	c - константа
	u^v	v*u^(v-1)*du/dx+u^v*ln(u)*dv/dx
	u^n	n*u^(n-1)*du/dx	n- вещественный
	c^u	c^u*ln(c)*du/dx	c - константа
	e^u	e^u*du/dx	e = 2.7182818284590452353602874713527
1	sin(u)	cos(u)*du/dx
2	cos(u)	-sin(u)*du/dx
3	tan(u)	sec(u)^2*du/dx
4	sec(u)	sec(u)*tan(u)*du/dx
5	cosec(u)	-cosec(u)*cot(u)*du/dx
6	cot(u)	-cosec(u)^2*du/dx
7	sinh(u)	cosh(u)*du/dx
8	cosh(u)	sinh(u)*du/dx
9	tanh(u)	sech(u)^2*du/dx
10	sech(u)	sech(u)*tanh(u)*du/dx
11	cosech(u)	cosech(u)*coth(u)*du/dx
12	coth(u)	-cosech(u)^2*du/dx
13	asin(u)	1/sqrt(1-u^2)*du/dx
14	acos(u)	-1/sqrt(1-u^2)*du/dx
15	atan(u)	1/(1+u^2)*du/dx
16	asec(u)	1/(|u|*sqrt(u^2-1))*du/dx	|u| - abs(u)
17	acosec(u)	-1/(|u|*sqrt(u^2-1))*du/dx	|u| - abs(u)
18	acot(u)	-1/(1+u^2)*du/dx
19	asinh(u)	1/sqrt(u^2+1)*du/dx
20	acosh(u)	1/sqrt(u^2-1)*du/dx
21	atanh(u)	1/(1-u^2)*du/dx
22	asech(u)	-1/(u*sqrt(1-u^2))*du/dx
23	acosech(u)	-1/(u*sqrt(1+u^2))*du/dx
24	acoth(u)	1/(1-u^2)*du/dx
25	sqrt(u)	1/(2*sqrt(u))*du/dx
26	log10(u)	1/(u*ln(10))*du/dx
27	log(u)	1/u*du/dx
28	ln(u)	1/u*du/dx
29	sign(u)	0
30	abs(u)	u/|u|*du/dx	|u| -abs(u)

Математическое выражение

Математическое выражение содержит числа, операторы, функции и переменные. Операторы включают в себя +, -, *, / и ^. Функции подобны sin(x), а переменные подобны x. Задача – определить каждый элемент и применить правильное правило дифференцирования к этому элементу или группе элементов.

Примеры выражений:

sin(2*x)/x
sin(45+cos(2)/tan(x)
sign(cos(x)
32*9-8/2