Собственные вектора и значения матриц

ОГЛАВЛЕНИЕ

Как выясняется, некоторые специалисты до сих пор интересуются такой проблемой линейной алгебры, как вычисление собственных значений и собственных векторов матриц. Эта проблема возникает во многих областях математики, механики, инженерного дела и геологии. На сайте представлен несколько переработанный перевод 11-ой главы книги Numerical Recipes in C, 2nd edition, Cambridge University Press, reprinted 1999.

Введение

Говорится, что матрица A размера N*N имеет собственный вектор x и соответствующее собственное значение l, когда выполняется Ax = lx.Очевидно, что любой вектор, пропорциональный собственному, также будет собственным вектором; мы не будем считать такие вектора различными. Нулевой вектор как собственный не рассматривается. Для собственных значений выполняется равенство: det|A - l1| = 0.Если раскрыть это выражение, то получится полином относительно l порядка N, корни которого и являются собственными значениями. Отсюда следует, что всегда существует N собственных значений (не обязательно различных и действительных). Одинаковые значения, соответствующие кратным корням, будем называть вырожденными. Поиск корней полинома для отыскания собственных значений -- обычно неэффективная операция. Значительно более эффективные методы будут описаны ниже.

Из вышеприведенных формул следует также, что для каждого из N собственных значений (не обязательно различных) имеется соответствующий собственный вектор: известно, что если матрица (A - l1)вырождена, то существует ненулевой вектор, обнуляющий ее при умножении.

Если к обоим частям первого выражения добавить tx, то видно, что собственные значения матрицы могут быть изменены на константу t, или сдвинуты, добавлением к матрице единичной, умноженной на эту константу. Собственные вектора при сдвиге не меняются. Сдвиг является важной частью многих алгоритмов вычисления собственных значений. Отсюда также следует, что нулевые собственные значения не имеют специфического смысла: любое собственное значение может быть сдвинуто до нулевого либо нулевое значение -- сдвинуто из нуля.

Определения и основные факты

Матрица называется симметричной, если она совпадает с транспонированной (со своей транспозицией): A = AT, или ai,j = aj,i.Она называется эрмитовой, или самосопряженной, если она равна комплексно-сопряженной матрице от своей транспозиции (эрмитово-сопряженной от нее): A = AH, или ai,j = aj,i*.Она называется ортогональной, если ее транспозиция является обратной к ней: AAT = ATA = 1.Она называется унитарной, если эрмитово-сопряженная от нее равна обратной. Наконец, матрица называется нормальной, если она является перестановочной с эрмитово-сопряженной: AAH = AHA.Для действительных матриц эрмитовость означает симметрию, унитарность совпадает с ортогональностью, и оба этих класса являются нормальными.

При поиске собственных значений матрицы, "эрмитовость" является весьма важной концепцией: все собственные значения эрмитовых матриц действительны. С другой стороны, собственные значения действительных несимметричных матриц могут быть либо действительными, либо парами комплексно - сопряженных чисел. Собственные значения комплексной неэрмитовой матрицы в общем случае комплексные.

Концепция "нормальности" важна при поиске собственных векторов. Система собственных векторов нормальной матрицы с невырожденными (несовпадающими) собственными значениями является полным и ортогональным базисом N-мерного векторного пространства. Для нормальной матрицы с вырожденными собственными значениями имеется свобода в определении собственных векторов, соответствующих вырожденным собственным значениям, связанная с заменой их любой линейной комбинацией. Это означает, что мы всегла можем провести процесс ортогонализации Грама - Шмидта и найти полный ортогональный набор собственных векторов, как и в невырожденном случае. Очевидно, что матрица с колонками из ортонормированного множества собственных векторов является унитарной. Для матрицы собственных векторов, полученных из действительной симметричной матрицы, выполняется свойство ортогональности.

Если матрица не является нормальной, как, например, любая действительная несимметричная матрица, то в общем случае нельзя отыскать ортонормированный набор собственных векторов, нельзя даже гарантировать ортогональности любой пары из них (кроме редких случаев). В общем случае эти N собственных векторов будут образовывать неортогональный базис в N-мерном пространстве (но не всегда). Если собственные вектора не образуют N-мерный базис, то матрицу будем называть дефектной.