Алгоритм RSA

Делители (факторы) p и q можно либо уничтожить либо сохранить вместе с частным (private) ключом.

Если бы существовали эффективные методы разложения на сомножители (факторинга), то, разложив n на сомножители (факторы) p и q, можно было бы получить частный (private) ключ d. Таким образом надежность криптосистемы RSA основана на трудноразрешимой – практически неразрешимой – задаче разложения n на сомножители (то есть на невозможности факторинга n) так как в настоящее время эффективного способа поиска сомножителей не существует.

Ниже описывается использование системы RSA для шифрования информации и создания цифровых подписей (практическое применение немного отличается).

Шифрование

Предположим, Алиса хочет послать Бобу сообщение M. Алиса создает зашифрованный текст С, возводя сообщение M в степень e и умножая на модуль n: C = M^**e* (mod n), где e и n – открытый (public) ключ Боба. Затем Алиса посылает С (зашифрованный текст) Бобу. Чтобы расшифровать полученный текст, Боб возводит полученный зашифрованный текст C в степень d и умножает на модуль n:
M = c**^d*(mod n); зависимость между e и d гарантирует, что Боб вычислит M верно. Так как только Боб знает d, то только он имеет возможность расшифровать полученное сообщение.

Цифровая подпись

Предположим, Алиса хочет послать Бобу сообщение M , причем таким образом, чтобы Боб был уверен, что сообщение не было взломано и что автором сообщения действительно является Алиса. Алиса создает цифровую подпись S возводя M в степень d и умножая на модуль n:
S = M**^d*(mod n), где d и n – частный ключ Алисы. Она посылает M и S Бобу.

Чтобы проверить подпись, Боб возводит S в степень e и умножает на модуль n: M = S**^e*(mod n), где e и n – открытый (public) ключ Алисы.

Таким образом шифрование и установление подлинности автора сообщения осуществляется без передачи секретных (private) ключей: оба корреспондента используют только открытый (public) ключ своего корреспондента или собственный частный (private) ключ. Послать зашифрованное сообщение и проверить подписанное сообщение может любой, но расшифровать или подписать сообщение может только владелец соответствующего частного (private) ключа.

Скорость работы алгоритма RSA

Как при шифровании и расшифровывании, так и при создании и проверке подписи алгоритм RSA по существу состоит из возведения в степень, которое выполняется как ряд умножений.

В практических приложениях для открытого ключа обычно выбирается относительно небольшой показатель, а зачастую группы пользователей используют один и тот же открытый показатель, но каждый с различным модулем. Если открытый показатель неизменен, то вводятся некоторые ограничения на главные сомножители (факторы) модуля. При этом шифрование данных идет быстрее расшифровывания, а проверка подписи быстрее, чем подписание.
Если k — количество битов в модуле, то в обычно используемых для RSA алгоритмах количество шагов, необходимых для выполнения операции с открытым ключом, пропорционально второй степени k, количество шагов для операций частного ключа — третьей степени k, количество шагов для операции создания ключей — четвертой степени k.

Методы “быстрого умножения” (например, методы, основанные на быстром преобразовании Фурье (Fast Fourier Transform, FFT)) выполняются гораздо меньшим количеством шагов. Тем не менее, они не получили широкого распространения из-за сложности программной реализации, а также потому, что с распространенными размерами ключей они фактически работают медленнее. Однако производительность и эффективность приложений и оборудования, реализующих алгоритм RSA, быстро увеличиваются. Алгоритм RSA намного медленнее, чем DES и другие алгоритмы блочного шифрования. Программная реализация DES работает быстрее, по крайней мере, в 100 раз и от 1000 до 10 000 — в аппаратной реализации (в зависимости от конкретного устройства). Благодаря ведущимся разработкам, скорость алгоритма RSA, вероятно, увеличится, но одновременно ускорится и работа алгоритмов блочного шифрования.

Взлом криптосистемы RSA

Существует несколько способов взлома RSA. Наиболее эффективная атака — найти секретный ключ, соответствующий необходимому открытому ключу. Это позволит нападающему читать все сообщения, зашифрованные открытым ключом, и подделывать подписи. Такую атаку можно провести, найдя главные сомножители (факторы) общего модуля n — p и q. На основании p, q и e (общий показатель) нападающий может легко вычислить частный показатель d. Основная сложность в поиске главных сомножителей (факторинг) n. Безопасность RSA зависит от разложения на сомножители (факторинга), что является трудной задачей, не имеющей эффективных способов решения.

Фактически, задача восстановления секретного ключа эквивалентна задаче разложения на множители (факторинга) модуля: можно использовать d для поиска сомножителей n, и наоборот, можно использовать n для поиска d (см. подпп. 2.3.4 и 2.3.5 о факторинге). Надо отметить, что усовершенствование вычислительного оборудования само по себе не уменьшит стойкость криптосистемы RSA, если ключи будут иметь достаточную длину. Фактически же совершенствование оборудования увеличивает стойкость криптосистемы (см. подп. 2.3.5).

Другой способ взломать RSA состоит в том, чтобы найти метод вычисления корня степени e из mod n. Поскольку С = M^e mod n, то корнем степени e из mod n является сообщение M. Вычислив корень, можно вскрыть зашифрованные сообщения и подделывать подписи, даже не зная частный ключ. Такая атака не эквивалентна факторингу, но в настоящее время неизвестны методы, которые позволяют взломать RSA таким образом. Однако в особых случаях, когда на основе одного и того же показателя относительно небольшой величины шифруется достаточно много связанных сообщений, есть возможность вскрыть сообщения. Упомянутые атаки — единственные способы расшифровать все сообщения, зашифрованные данным ключом RSA.

Существуют и другие типы атак, позволяющие, однако, расшифровать только одно сообщение и не позволяющие нападающему вскрыть прочие сообщения, зашифрованные тем же ключом. Также изучалась возможность расшифровывания части зашифрованного сообщения.

Самое простое нападение на отдельное сообщение — атака по предполагаемому открытому тексту. Нападающий, имея зашифрованный текст, предполагает, что сообщение содержит какой-то определенный текст (например, “Юстас — Алексу”), затем шифрует предполагаемый текст открытым ключом получателя и сравнивает полученный текст с имеющимся зашифрованным текстом. Такую атаку можно предотвратить, добавив в конец сообщения несколько случайных битов. Другая атака на единственное сообщение применяется в том случае, если отправитель посылает одно и то же сообщение M трем корреспондентам, каждый из которых использует общий показатель e = 3. Зная это, нападающий может перехватить эти сообщения и расшифровать сообщение M.

Такую атаку можно предотвратить, вводя перед каждым шифрованием в сообщение несколько случайных битов. Также существуют несколько атак по зашифрованному тексту (или атаки отдельных сообщений с целью подделки подписи), при которых нападающий создает некоторый зашифрованный текст и получает соответствующий открытый текст, например, заставляя обманным путем зарегистрированного пользователя расшифровать поддельное сообщение. Разумеется, существуют и атаки, нацеленные не на криптосистему непосредственно, а на уязвимые места всей системы коммуникаций в целом. Такие атаки не могут рассматриваться как взлом RSA, так как говорят не о слабости алгоритма RSA, а скорее об уязвимости конкретной реализации. Например, нападающий может завладеть секретным ключом, если тот хранится без должной предосторожности. Необходимо подчеркнуть, что для полной защиты недостаточно защитить выполнение алгоритма RSA и принять меры математической безопасности, т.е. использовать ключ достаточной длины, так как на практике наибольший успех имеют атаки на незащищенные этапы управления ключами системы RSA (см. п. 4.2, где обсуждаются задачи защиты управления ключами в системе RSA).

Устойчивые простые числа для RSA

В литературе, описывающей алгоритм RSA, часто указывается, что при выборе пары чисел для создания модуля n необходимо, чтобы выбранные числа p и q являлисьустойчивых чисел существенно безопасность не увеличивает. В отличие от этого выбор достаточно большого устойчивого числа гарантирует надежную защиту, хотя для этого может потребоваться более длинное число. В будущем возможно будут разработаны новые алгоритмы разложения на множители (факторинга) чисел с определенными свойствами, но и в этом случае защиту можно усилить, увеличив длину числа.

Рекомендуемая длина ключа

Размер ключа в алгоритме RSA связан с размером модуля n. Два числа p и q, произведением которых является модуль, должны иметь приблизительно одинаковую длину поскольку в этом случае найти сомножители (факторы) сложнее, чем в случае когда длина чисел значительно различается. Например, если предполагается использовать 768-битный модуль, то каждое число должно иметь длину приблизительно 384 бита. Обратите внимание, что если два числа чрезвычайно близки друг к другу или их разность близка к некоторому предопределенному значению, то возникает потенциальная угроза безопасности, однако такая вероятность – близость двух случайно выбранных чисел – незначительна.

1. Возьмем M = (p+q)/2

2. При p < q, имеем 0 =< м – sqrt (n) =< (q - p)**2/8p.

Поскольку p = M*(+- sqrt (m² - n)), то значения p и q можно легко найти, если разность p - q достаточно мала.

Оптимальный размер модуля определяется требованиями безопасности: модуль большего размера обеспечивает большую безопасность, но и замедляет работу алгоритма RSA. Длина модуля выбирается в первую очередь на основе значимости защищаемых данных и необходимой стойкости защищенных данных и во вторую очередь – на основе оценки возможных угроз.

Хороший анализ защиты, обеспечиваемой определенной длиной модуля, приведен в описании модуля дискретного логарифма Rivest, но то же можно применить и к алгоритму RSA. В более позднем обзоре защиты, предлагаемой ключами RSA различной длины защита анализируется на основе методов разложения на множители (факторинга), существовавших в 1995 и перспективах их развития, а также рассматривает возможность привлечения больших вычислительных ресурсов по информационным сетям. Проведенная в 1997 году оценка показала, что 512-битный ключ RSA может быть вскрыт (факторингом) за $ 1,000,000 и восемь месяцев. В 1999 году 512-битный ключ был вскрыт за семь месяцев и это означает, что 512-битные ключи уже не обеспечивают достаточную безопасность за исключением очень краткосрочных задач безопасности.

В настоящее время Лаборатория RSA рекомендует для обычных задач ключи размером 1024 бита, а для особо важных задач – 2048 битов (например, для главного Мастера Сертификатов).

Некоторые недавно введенные стандарты устанавливают для общих задач минимальный размер ключа 1024 бита. Менее ценная информация может быть надежно зашифрована ключом 768-битной длины, поскольку такой ключ все еще недосягаем для всех известных алгоритмов взлома. Для оценки уровней безопасности различных размеров ключей можно использовать модель предлагаемую Lenstra и Verheul.

Обычно ключ индивидуального пользователя имеет определенный срок жизни, который истекает через некоторое время, например, через год. Это дает возможность регулярно заменять ключи и обеспечивать необходимый уровень безопасности. После истечения срока жизни ключа, пользователь должен создать новый ключ, предварительно удостоверившись, что параметры криптосистемы остались прежними, в частности что система использует ключи той же длины. Конечно, замена ключа не защищает от нападения на сообщения, зашифрованные прежним ключом, но для этого размер ключа должен подбираться согласно ожидаемому времени актуальности данных. Возможность замены ключей позволяет поддерживать криптографическую систему в соответстствии с текущими рекомендациями о размерах ключей, которые регулярно публикует Лаборатория RSA.
Пользователям необходимо учитывать, что оцениваемое время взлома системы RSA – только усредненное значение, а массированная атака на тысячи модулей в каком-то случае может дать положительный результат в относительно короткий срок.
Хотя надежность любого отдельного ключа все еще высока, некоторые методы факторинга всегда оставляют нападающему маленький шанс быстро найти некоторый ключ.

Что же касается затруднения взлома увеличением размера ключа, то удвоение длины модуля в среднем увеличивает время операций открытого (public) ключа (шифрование и проверка подписи) в четыре раза, а время операций частного (private) ключа (расшифровка и подпись) в восемь раз. Разница между временем работы отрытого и секретного ключей возникает потому, что открытый показатель может оставаться неизменным, в то время как модуль будет увеличен, а длина частного показателя будет увеличена пропорционально увеличению длины ключа. Время создания ключей при удвоении модуля увеличивается в 16 раз, но это нечасто выполняемая операция и потому на общей производительности это практически не сказывается.

Надо отметить, что размеры ключей в криптосистеме RSA (а также и в других криптосистемах открытого (public) ключа) намного больше размеров ключей систем блокового шифрования типа DES, но надежность ключа RSA несравнима с надежностью ключа аналогичной длины другой системы шифрования.

Множество простых чисел для криптосистемы RSA

Как доказано Эвклидом более двух тысяч лет назад, существует бесконечное множество простых чисел. Поскольку алгоритм RSA оперирует с ключами определенной длины, то количество возможных простых чисел конечно, хотя тем не менее очень велико. По теореме о Простых Числах количество простых чисел меньших некоторого n асимптотически приближается к n = ln(n). Следовательно, количество простых чисел для ключа длиной 512 битов или меньше приблизительно составляет 10**^{150 (десять в степени 150)}. Это больше, чем количество атомов в известной Вселенной.

Применение алгоритма RSA на практике

На практике криптосистема RSA часто используется вместе с криптографической системой секретного ключа типа DES для зашифровывания сообщения ключом RSA посредством цифрового конверта.
Предположим, что Алиса посылает зашифрованное сообщение Бобу. Сначала она шифрует сообщение по алгоритму DES, используя случайно выбранный ключ DES и затем шифрует ключ DES открытым (public) ключом RSA Боба. Сообщение зашифрованное ключом DES и ключ DES зашифрованный в свою очередь ключом RSA вместе формируют цифровой конверт RSA и отсылаются Бобу. Получив цифровой конверт, Боб расшифровывает ключ DES с помощью своего частного (private) ключа, а затем использует ключ DES, чтобы расшифровать само сообщение.

Применение алгоритма RSA для установления подлинности цифровых подписей

Криптосистема RSA может использоваться также и для подтверждения подлинности или идентификации другого человека или юридического лица. Это возможно потому, что каждый зарегистрированный пользователь криптосистемы имеет свой уникальный частный (private) ключ, который (теоретически) больше никому недоступен. Именно это делает возможным положительную и уникальную идентификацию.

Предположим, Алиса желает послать подписанное сообщение Бобу. Она хеширует сообщение (применяет к сообщению хеш-функцию), чтобы создать дайджест сообщения, который является как бы “цифровым отпечатком” сообщения.

Затем Алиса шифрует дайджест сообщения своим частным (private) ключом, создавая цифровую подпись, которую посылает Бобу непосредственно вместе с сообщением.

Получив сообщение и подпись, Боб расшифровывает подпись открытым (public) ключом Алисы и получает таким образом даджест сообщения. Затем он обрабатывает сообщение той же хеш-функцией что и Алиса и сравнивает результат с дайджестом сообщения, полученным при расшифровке подписи. Если они совпадают точно, то это означает успешную проверку подписи и Боб может быть уверен, что сообщение действительно послано Алисой. Если же результаты не одинаковы, то это означает, что либо сообщение пришло не от Алисы, либо было изменено при передаче (то есть после того, как Алиса его подписала). Подпись Алисы может проверить любой, кто получил или перехватил это сообщение.

Еcли же Алиса хочет сохранить содержание документа в тайне, то она подписывает документ, а затем зашифровывает его открытым (public) ключом Боба. Боб расшифровывает сообщение своим частным (private) ключом и проверяет подпись на восстановленном сообщении, используя открытый (public) ключ Алисы. Либо – если, например, необходимо, чтобы посредник мог подтвердить целостность сообщения, не получая доступ к его содерданию – вместо дайджеста открытого текста может быть рассчитан дайджест зашифрованного сообщения.

На практике же общий показатель алгоритма RSA обычно много меньше показателя частного и потому проверка подписи осуществляется быстрее чем подписание. Это является оптимальным так как сообщение подписывется только однажды, а проверка подписи может быть неоднократной.

Для обеспечения секретности обмена информацией необходимо исключить для нападающего возможность во-первых получить открытое сообщение, соответствующее хешированному, а во-вторых получить два различных хешированных сообщения, имеющих одно значение так как в любом из этих случаев нападающий имеет возможность присоединить к подписи Алисы ложное сообщение. Специально для этого разработаны функции хеширования MD5 и SHA, которые делают такое сопоставление невозможным.

Цифровая подпись может сопровождаться одним или несколькими сертификатами. Сертификат – заверенный подписью документ, подтверждающий принадлежность открытого (public) ключа определенному владельцу, благодаря чему предотвращается возможность имитации отправителя. При наличии сертификата, получатель (или третье лицо) имеет возможность удостовериться в принадлежности ключа автору сообщения, то есть ключ позволяет удостоверить сам себя.

Использование криптосистемы RSA в настоящее время

Криптосистема RSA используется в самых различных продуктах, на различных платформах и во многих отраслях. В настоящее время криптосистема RSA встраивается во многие коммерческие продукты, число которых постоянно увеличивается. Также ее используют операционные системы Microsoft, Apple, Sun и Novell. В аппаратном исполнении RSA алгоритм применяется в защищенных телефонах, на сетевых платах Ethernet, на смарт-картах, широко используется в криптографическом оборудовании. Кроме того, алгоритм входит в состав всех основных протоколов для защищенных коммуникаций Internet, в том числе S/MIME, SSL и S/WAN, а также используется во многих учреждениях, например, в правительственных службах, в большинстве корпораций, в государственных лабораториях и университетах. На осень 2000 года технологии с применением алгоритма RSA были лицензированы более чем 700 компаниями.

Технологию шифрования RSA BSAFE используют около 500 миллионов пользователей всего мира. Так как в большинстве случаев при этом используется алгоритм RSA, то его можно считать наиболее распространенной криптосистемой общего (public) ключа в мире и это количество имеет явную тенденцию к увеличению по мере роста Internet.

Стандарты с применением RSA

Криптосистема RSA – часть многих стандартов. Стандарт ISO 9796 описывает RSA как совместимый криптографический алгоритм, соотвествующий стандарту безопасности ITU-T X.509. Кроме этого криптосистема RSA является частью стандартов SWIFT, ANSI X9.31 rDSA и проекта стандарта X9.44 для американских банков. Австралийский стандарт управления ключами AS2805.6.5.3 также включает систему RSA.

Алгоритм RSA используется в Internet, в частности он входит в такие протоколы как S/MIME, IPSEC (Internet Protocol Security) и TLS (которым предполагается заменить SSL), а также в стандарт PKCS, применяемый в важных приложениях.
Для разработчиков приложений с применением PKCS организация OSI Implementers' Workshop (OIW) выпустила соглашение, которое в частности посвящено алгоритму RSA.
Множество других разрабатываемых в настоящее время стандартов включают в себя либо сам алгоритм RSA или его поддержку либо рекомендуют криптосистему RSA для обеспечения секретности и/или установления подлинности (аутентификации). Например, включают в себя систему RSA рекомендации IEEE P1363 и WAP WTLS.

Криптосистема RSA в мире

На начало 2001 года криптосистема RSA являлась наиболее широко используемой асимметричной криптосистемой (криптосистемой открытого (public) ключа) и зачастую называется стандартом де факто. Вне зависимости от официальных стандартов существование такого стандарта чрезвычайно важно для развития электронной коммерции и вообще экономики. Единая система открытого (public) ключа допускает обмен документами с электронно-цифровыми подписями между пользователями различных государств, использующими различное программное обеспечение на различных платформах; такая возможность насущно необходима для развития электронной коммерции. Распространение системы RSA дошло до такой степени, что ее учитывают при создании новых стандартов. При разработке стандартов цифровых подписей, в первую очередь в 1997 был разработан стандарт ANSI X9.30, поддерживающий Digital Signature Standard (стандарт Цифровой подписи). Годом позже был введен ANSI X9.31, в котором сделан акцент на цифровых подписях RSA, что отвечает фактически сложившейся ситуации в частности для финансовых учреждений.

Недостатки защищенной аутентификации (установления подлинности) были главным препятствием для замены бумажного документооборота электронным; почти везде контракты, чеки, официальные письма, юридические документы все еще выполняются на бумаге. Именно это – необходимость элементов бумажного документооборота – не позволяло полностью перейти к электронным транзакциям. Предлагаемая RSA цифровая подпись – инструмент, который позволит перевести наиболее существенные бумажные документо-потоки в электронно-цифровой вид. Благодаря цифровым подписям многие документы – паспорта, избирательные бюллетени, завещания, договора аренды – теперь могут существовать в электронной форме, а любая бумажная версия будет в этом случае только копией электронного оригинала. Все это стало возможным благодаря стандарту цифровых подписей RSA.